7 SMP : Bab V Mengidentifikasi KPK dan FPB ~ Kenapa Belajar

BAB V

MENGIDENTIFIKASI KPK dan FPB

"Kelipatan Persekutuan Terkecil dan Faktor Persekutuan Terbesar"

Gambar 1. Animasi Pohon Faktor KPK dan FPB [sumber].

Berbicara tentang KPK(Kelipatan Persekutuan Terkecil) dan FPB(Faktor Persekutuan Terbesar), sebenarnya sudah kalian pelajari semenjak duduk di bangku SD kelas 4 dahulu. Apakah kalian masih mengingat kedua materi ini? Jika tidak, mari kita membahas ulang materi ini. Taukah kalian apa yang dimaksud "kelipatan" dan "faktor"?. Yuk.., kita intip pengertian dari kedua kata tersebut di Kamus Besar Bahasa Indonesia atau KBBI.

Dalam pengertian matematika :

➸ Faktor adalah bilangan (atau bangun) yang merupakan bagian hasil perbanyakan.
➸ Kelipatan adalah bilangan hasil perbanyakan bilangan yang lain.

Maka, kita dapat mengartikan faktor sebagai perkalian setiap bilangan dengan setiap bilangan asli secara berurutan untuk membentuk bilangan tertentu [5].

Contoh:
Bilangan bulat 6 dapat diuraikan dari perkalian 1 x 2 x 3.

Sedangkan, kelipatan adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi sampai habis suatu bilangan [5].

Contoh :
Bilangan bulat 10 dapat kita bagi dengan bilangan 1 dan 2 :
10 : 1 = 10
10: 2 = 5

Sehingga, kelipatan 10 dapat kita tuliskan 10 = 1 ; 2 ; 5 ; 10

Arti membagi habis disini dapat diartikan bahwa hasil pembagian bukan merupakan bilangan desimal yang memiliki angka dibelakang koma. Melainkan, operasi pembagian yang menghasilkan bilangan bulat.

Contoh membagi tidak sampai habis :

5 : 2 = 2,5

Bagaimana kalian sudah ingat dan paham sekarang apa itu Kelipatan dan Faktor?. Yuk sekarang kita bahas materi selanjutnya.

A. Mengenal Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kelipatan Persekutuan Terkecil atau KPK adalah bilangan kelipatan terkecil yang sama dari banyaknya bilangan tertentu. Kalian dapat mengartikan kalimat banyak bilangan tertentu disini sebagai 2 bilangan, 3 bilangan atau lebih [4] [5]. Didalam pencarian KPK dari suatu bilangan terdapat 2 cara, yakni :

1. Membandingkan faktor pembentuk bilangan
2. Menggunakan bilangan prima dengan cara "Pohon Faktor"

Langsung saja, kita bahas dengan contoh soal ya. Coba cari KPK dari 2 bilangan ini, yaitu 3 dan 4 menggunakan 2 metode tersebut?.

Cara 1: Membandingkan faktor pembentuk bilangan

Faktor pembentuk bilangan yang dimaksud disini adalah kelipatan dari bilangan yang ingin dicari nilai KPK-nya. Mari kita lihat contoh pada Tabel 1. yang merupakan kelipatan dari 3 dan 4.

Tabel 1. Contoh KPK dari 3 dan 4.

Adapun langkah-langkah yang harus kalian lakukan untuk mencari nilai KPK sebagai berikut :

1.) Buatlah kelipatan bilangan berturut-turut dari bilangan yang kalian cari nilai KPK-nya, seperti contoh pada Tabel 1.

2.) Cari bilangan dengan nilai kelipatan yang sama.

Pada contoh Tabel 1, kalian bisa melihat tabel yang berwarna kuning bilangan 3 menghasilkan kelipatan 12 dan 24. Begitu pula dengan bilangan 4. Inilah yang dimaksud "persekutuan" dari kepanjangan KPK.

3.) Cari nilai persekutuan terkecil.

12 dan 24 keduanya merupakan nilai persekutuan dari bilangan 3 dan 4. Karena didalam pencarian KPK kita menghendaki yang terkecil. Maka, kita dapat mengambil 12 sebagai KPK dari bilangan 3 dan 4.

Cara 2: Menggunakan bilangan prima dengan cara "Pohon Faktor".

Apakah kalian sudah mengetahui apa itu "pohon faktor"?. Pohon Faktor adalah pohon yang tumbuh ke bawah dengan menggunakan perkalian dari bilangan prima. Sedangkan, bilangan prima sendiri adalah bilangan yang habis dibagi jika bilangan tersebut dibagi dengan 1 atau bilangan itu sendiri, seperti bilangan 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan seterusnya. Maka, kita dapatkan pohon faktor dari bilangan 3 dan 4 pada Gambar 2.

Gambar 2. Pohon faktor dari bilangan 3 dan 4.

Adapun langkah-langkah yang harus kalian lakukan untuk mencari nilai KPK sebagai berikut :

1.) Buatlah pohon faktor dari bilangan-bilangan yang kalian cari nilai KPK-nya, seperti pada contoh Gambar 2.
2.) Cari bilangan pokoknya dari pohon faktor.

➸ Bilangan pokok dari 3 = 1 x 3

➸ Bilangan pokok dari 4 = 1 x 2 x 2 = 1 x 2^2

Catatan : simbol "^" adalah simbol pangkat.

3.) Cari bilangan pokok terbesar dan pangkat terbesar dari kedua bilangan tersebut.

➸ Bilangan pokok dari 3 = 1 x 3
➸ Bilangan pokok dari 4 = 1 x 2 x 2 = 1 x 2^2

Maka didapat nilai KPK dari 3 dan 4 adalah 3 x 2^2 = 3 x 2 x 2 = 12.

Bagaimana? Apakah kalian sudah paham apa yang dimaksud dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)?. Jika sudah, Yuk kita bahas tebtabg Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

B. Mengenal Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor Persekutuan Terbesar atau FPB adalah faktor persekutuan yang nilainya terbesar di antara faktor-faktor persekutuan lainnya. Banyak bilangan yang kalian cari FPB-nya bisa dari 2 bilangan, 3 bilangan atau lebih, seperti halnya KPK [4] [5]. Dan metode pencarian FPB pun, juga sama memiliki 2 cara :

1. Membandingkan faktor pembentuk bilangan
2. Menggunakan bilangan prima dengan cara "Pohon Faktor"

Langsung saja, kita bahas dengan contoh soal ya. Coba cari FPB dari 2 bilangan ini, yaitu 15 dan 21 menggunakan 2 metode tersebut?.

Cara 1: Membandingkan faktor pembentuk bilangan.

Faktor pembentuk bilangan yang dimaksud disini adalah menguraikan bilangan-bilangan pokok pembentuk bilangan yang kalian cari FPB-nya. Mari kita lihat contoh pada Tabel 2 yang merupakan uraian dari bilangan 15 dan 21.

Tabel 2. Contoh FPB dari 15 dan 21..

Adapun langkah-langkah yang harus kalian lakukan untuk mencari nilai FPB sebagai berikut :

1. Buatlah uraian bilangan pokok berturut-turut dari bilangan yang kalian cari nilai FPB-nya, seperti contoh pada Tabel 2.
2. Cari bilangan pokok yang sama dan memiliki pangkat terkecil.

➸ Uraian bilangan pokok dari 15 = 1 ; 3 ; 5 ; 15

➸ Uraian bilangan pokok dari 21 = 1 ; 3 ; 7 ; 21

Jadi yang sama adalah 1 dan 3.

3. Kita kalikan bilangan-bilangan pokok tersebut. Jadi, FPB dari 15 dan 21 adalah 1 x 3 = 3.

Cara 2: Menggunakan bilangan prima dengan cara "Pohon Faktor".

Cara untuk membuat pohon faktor sama persis pada pembahasan KPK. Maka, kita dapatkan pohon faktor dari bilangan 3 dan 4 pada Gambar 3.

Gambar 3. Pohon faktor dari bilangan 15 dan 21.

Adapun langkah-langkah yang harus kalian lakukan untuk mencari nilai FPB sebagai berikut :

1. Buatlah pohon faktor dari bilangan-bilangan yang kalian cari nilai FPB-nya, seperti contoh pada Gambar 3.
2. Cari bilangan pokoknya dari pohon faktor.

➸ Bilangan pokok dari 15 = 1 x 3 x 5

➸ Bilangan pokok dari 21 = 1 x 3 x 7

3. Cari bilangan pokok yang sama dan memiliki pangkat terkecil.

➸ Bilangan pokok dari 15 = 1 x 3 x 5
➸ Bilangan pokok dari 21 = 1 x 3 x 7

Jadi didapat 1 dan 3.

4. Kalikan bilangan pokok tersebut. Maka, didapat nilai Faktor Persekutuan Terbesar atau FPB dari 15 dan 21 adalah 1 x 3 = 3.

Dari penjelasan mengenai KPK dan FPB beserta contohnya, Apakah dari kalian memperhatikan beberapa kesamaan dan perbedaannya?. Jika, belum mengetahuinya. Yuk.., kita simak pembahasan persamaan dan perbedaan dari KPK dan FPB di "Fakta Unik dari KPK dan FPB" ^^.

C. Fakta Unik dari KPK dan FPB

Persamaan-persamaan KPK dan FPB :

Keduanya sama-sama dapat dikerjakan dengan bantuan bilangan prima melalui metode "pohon faktor". Adapun nama lainnya dari cara pengerjaan seperti ini adalah "faktorisasi prima".
Dalam penentuan faktor bilangan (di FPB) atau kelipatan bilangan (di KPK) menggunakan teknik irisan himpunan, yakni dicari anggota bilangan yang nilainya sama [pelajari lebih lanjut tentang himpunan].

Perbedaan-perbedaan KPK dan FPB [7]:

FPB didapat dari faktor yang sama dari dua bilangna atau lebih. Sedangkan, KPK didapat dari kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih.
Sesuai namanya, FPB mencari bilangan terbesar di antara faktor-faktor persekutuannya. Sedangkan, KPK mencari bilangan terkecil di antara kelipatan-kelipatan persekutuannya.

Kurang-lebih inilah beberapa keunikan dari KPK dan FPB. Bagi kalian yang menemukan keunikan lainnya, kalian bisa berbagi di kolom komentar ya ^^. Oh ya..., dari persamaan dan perbedaan ini, dapat kita tarik kesimpulan bahwa Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) memiliki kesamaan tetapi tidak serupa, karena masih meiliki perbedaan-perbedaan dari keduanya. Jadi, jangan bingung kalau kalian tidakanya bahwa KPK dan FPB itu sama tetapi tak serupa, kenapa alasannya?. Jika ditanya oleh guru atau temanmu.

Link video edukasi : Mengenal KPK dan FPB lebih dalam.

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

D. Sejarah penggunaan KPK dan FPB

Penggunaan KPK dan FPB mulai perkembang pesat berkat pengetahuan tentang bilangan pecahan dari masyarakat mesir kuno. Lalu, berlanjut pada peradaban India kuno dan dikembangkan pada masa kejayaan ilmu pengetahuan di negeri Islam kuno, yaitu Baghdad [2] [11] [12]. Sekitar abad ke-12, seorang matematikawan berasal dari Italia, Leonardo da Pisa atau dikenal sebagai Fibonacci dalam bukunya Liber Abaci [8] [9]. Memperkenalkan kepada bangsa Eropa bilangan pecahan yang dipengaruhi oleh perkembangan ilmu pengetahuan matematika Islam-Hindu kuno. Kenapa disebut Islam-Hindu kuno? karena sebelum ilmu pengetahuan perkembang di Baghdad, Matematikawan Islam saat itu meneliti dan mengembangkan ilmu pengetahuan yang berasal dari terjemahaan buku-buku India kuno [].

Mengingat kegiatan perdagangan yang meningkat antar kedua bangsa tersebut, sehingga memungkinkan terjadi kegiatan tukar pikiran yang luas. Didalam buku Liber Abaci, bilangan pecahan yang dimaksud direpresentasikan sebagai notasi Fibonacci untuk bilangan rasional, notasi yang berbentuk perantara antara pecahan Mesir yang biasa digunakan hingga saat itu dan pecahan vulgar yang masih digunakan hingga saat ini. Ada tiga perbedaan utama antara notasi Fibonacci dan notasi pecahan modern.

Kita biasanya menulis pecahan di sebelah kanan bilangan bulat yang ditambahkannya, misalnya $\ scriptstyle 2 \, {\ frac 13}$ untuk 7/3. Fibonacci akan menulis pecahan yang sama ke kiri, yaitu, $\ scriptstyle {\ frac 13} \, 2$ .
Fibonacci menggunakan notasi pecahan komposit di mana urutan pembilang dan penyebut memiliki batang pecahan yang sama; setiap suku mewakili pecahan tambahan dari pembilang yang diberikan dibagi dengan produk dari semua penyebut di bawah dan di sebelah kanannya. Itu adalah, $\ scriptstyle {\ frac {b \, \, a} {d \, \, c}} = {\ frac {a} {c}} + {\ frac {b} {cd}}$ , dan $\ scriptstyle {\ frac {c \, \, b \, \, a} {f \, \, e \, \, d}} = {\ frac {a} {d}} + {\ frac {b} {de}} + {\ frac {c} {def}}$ . Notasi dibaca dari kanan ke kiri. Misalnya, 29/30 dapat ditulis sebagai $\ scriptstyle {\ frac {1 \, \, 2 \, \, 4} {2 \, \, 3 \, \, 5}}$ , mewakili nilai $\ scriptstyle {\ frac 45} + {\ frac 2 {3 \ times 5}} + {\ frac 1 {2 \ times 3 \ times 5}}$ . Ini dapat dipandang sebagai bentuk notasi radix campuran , dan sangat nyaman untuk menangani sistem bobot, ukuran, dan mata uang tradisional. Misalnya, untuk satuan panjang, satu kaki adalah 1/3 yard , dan satu inci adalah 1/12 kaki, jadi besaran 5 yard, 2 kaki, dan $\ scriptstyle 7 {\ frac 34}$ inci dapat direpresentasikan sebagai pecahan komposit: $\ scriptstyle {\ frac {3 \ \, 7 \, \, 2} {4 \, \, 12 \, \, 3}} \, 5$ yard. Akan tetapi, notasi tipikal untuk ukuran tradisional, meskipun didasarkan pada radix campuran, jangan menuliskan penyebutnya secara eksplisit; penyebut eksplisit dalam notasi Fibonacci memungkinkan dia untuk menggunakan akar yang berbeda untuk masalah yang berbeda jika memungkinkan. Sigler juga menunjukkan contoh di mana Fibonacci menggunakan pecahan komposit di mana semua penyebutnya adalah 10, menggambarkan notasi desimal modern untuk pecahan.
Fibonacci terkadang menulis beberapa pecahan di samping satu sama lain, mewakili jumlah pecahan yang diberikan. Misalnya 1/3 + 1/4 = 7/12, jadi notasi seperti $\ scriptstyle {\ frac 14} \, {\ frac 13} \, 2$ akan mewakili bilangan yang sekarang lebih umum ditulis sebagai bilangan campuran $\ scriptstyle 2 \, {\ frac {7} {12}}$ , atau hanya pecahan biasa $\ scriptstyle {\ frac {31} {12}}$ .

Taukah kalian bahwa Fibonacci sebenarnya sudah mempraktekkan pencarian KPK dan FPB pada bukunya. Mari kita telaah poin kedua, dimana Fibonacci mengunakan notasi pecahan komposit untuk menjabarkan pecahan ke bentuk pecahan lain, seperti masyarakat Mesir kuno lakukan.

Fibonacci menjabarkan bahwa bilangan pecahan 29/30 dapat dijabarkan sebagai :

Perhatikan angka dibawahnya (penyebut), Fibonacci menuliskan 2 x 3 x 5 yang merupakan bilangan pokok dari 30. Secara tidak langsung Fibonacci mengunakan konsep Faktor Persekutuan Terbesar atau FPB untuk memecah 1 bilangan pecahan ke dalam beberapa bentuk bilangan pecahan.

Link video edukasi : Sejarah penggunaan KPK dan FPB

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

E. Aplikasi KPK dan FPB di dunia nyata

Pernahkah kalian berpikir bahwa semua kejadian itu memiliki pola tertentu?, seperti saat kalian bertemu dengan kenalan lama kalian semasa sekolah dulu, dan pertemuan tersebut tidak terjadi 2 kali saja bahkan ada yang sampai 10 kali atau bahkan ribuan kali dan seterusnya. Ya berbicara tentang mengamati suatu pola kejadian, sama halnya kita berbicara tentang bagaimana cara memprediksi suatu kejadian. Nah.., inilah kegunaan kita mempelajari KPK dan FPB untuk dapat memprediksi kapan suatu kejadian terjadi secara bersamaan dengan polanya masing-masing. Langsung saja saya kasih contohnya.

Contoh soal KPK : memprediksi pola kejadian bersamaan.

Gambar 4. Gambar Animasi Murid Sekolah (sudah diedit) [sumber].

Andi pergi ke perpustakaan untuk belajar 3 hari sekali. Sedangkan, Mirna pergi ke perpustakaan untuk belajar 2 hari sekali ,karena Mirna tergolong anak yang rajin. Jika Andi dan Mirna mengawali untuk pergi ke perpustakaan pada hari Senin. Tentukan pada hari ke berapa dan hari apa untuk selanjutnya, Andi dan Mirna dapat bertemu bersama-sama di perpustakaan?.

Gambar 5. Ilustrasi kedua murid datang bersamaan ke Perpustakaan (sudah diedit) [sumber].

Jawab :

Pertama-tama kita tentukan dahulu untuk penyelesaiannya, apakah menyangkut kelipatan atau faktor bilangan?. Coba kita lihat polanya.

⧫ Pola Andi pergi ke perpustakaan = 3 hari sekali = kelipatan 3
⧫ Pola Mirna pergi ke perpustakaan = 2 hari sekali = kelipatan 2

Maka, kita dapat tentukan bahwa persoalan diatas dapat dipecahkan dengan pencarian nilai KPK dari bilangan 3 dan 2, seperti Tabel 3.

Tabel 3. Ilustrasi KPK 3 dan 2 untuk perwakilan hari datang ke perpustakaan.

Tabel 3 diatas, merupakan tabel kelipatan dari 3 dan 2 yang mewakili seberapa sering Andi dan Mirna pergi ke perpustakaan. Disini, kita akan mencoba mencari KPK-nya dengan menggunakan cara membandingkan faktor pembentuk bilangan.

Adapun langkah-langkah yang harus kalian lakukan untuk mencari nilai KPK sebagai berikut :

1. Buatlah kelipatan bilangan berturut-turut dari bilangan yang kalian cari nilai KPK-nya, seperti contoh pada Tabel 3.
2. Cari bilangan dengan nilai kelipatan yang sama.

Pada contoh Tabel 3, kalian bisa melihat tabel yang berwarna kuning bilangan 2 menghasilkan kelipatan 6 dan 12. Begitu pula dengan bilangan 3. Inilah yang dimaksud "persekutuan" dari kepanjangan KPK.

3. Cari nilai persekutuan terkecil.

6 dan 12 keduanya merupakan nilai persekutuan dari bilangan 2 dan 3. Karena didalam pencarian KPK kita menghendaki yang terkecil. Maka, kita dapat mengambil 6 sebagai KPK dari bilangan 2 dan 3.

Arti KPK dari 2 dan 3 adalah 6, mengisyaratkan bahwa Andi dan Mirna akan bertemu bersamaan di perpustakaan pada hari ke-6 setelah awal hari mereka bertemu, yaitu pada hari kamis - minggu ke-1 dan seterusnya.

Ya, tentu saja. Ketika kalian sudah dapat memprediksi suatu kejadian yang akan terjadi bersama-sama kedepannya. Kalian juga bisa mengaplikasikannya ketika kalian ingin membuat janji pertemuan dengan teman atau kolega terdekat kalian dengan tidak memberatkan kesibukan kalian sehari-hari. Istilah bahasa gaul yang dipakai sekarang adalah "coba cari waktu luang yang free atau bebas, ya...".

Namun, cara ini merupakan pendekataan dasar ya. Jadi jangan disalah-artikan bahwa prediksi yang kita hitung itu selalu terjadi dan benar. Adakalanya orang yang kita temui sakit atau mendapatkan urusan mendadak dihari kalian akan bertemu, karena pada dasarnya pola suatu kejadian itu merupakan serangkaian pola yang panjang dan dapat kita wakilkan dengan angka-angka atau dalam matematika kita mengenal istilah fungsi [pelajari lebih lanjut]. Pencarian KPK sebenarnya juga diaplikasikan ketika kalian menemui soal penjumlahan atau pengurangan bilangan pecahan yang penyebutnya tidak sama satu-sama lainnya [pelajari lebih lanjut].

Jika kalian bertanya : "Kira-kira pengaplikasian pencarian Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) bagaimana ya?". Coba kalian amati kegiatan sosial disekelilingmu, dan telaah secara hitungan (matematis). Pasti kalian akan menemuinya ☺. Contoh sederhana saja, ketika berbagi suatu barang bagi yang membutuhkan entah itu berupa makanan, pakaian atau yang lainnya. Tentunya pihak pemberi atau penerima sedekah tersebut harus membaginya dengan adil bukan?. Katakanlah dengan jumlah yang sama. Contoh soalnya seperti ini.

Contoh soal FPB : Konsep berbagi suatu barang dengan orang lain.

Ibu sedang memasak kue kukus dan brownis untuk dibagikan ke anak-anaknya. Ibu membuat 8 buah kue kukus dan 6 buah kue brownis. Andi memiliki 2 saudara kandung, berapa banyak kue kukus dan kue brownis yang mereka dapatkan. Jika Ibu membagi kedua kue tersebut secara adil?

Coba kita kerjakan dengan menggunakan cara ke-2 dalam pencarian FPB tersebut, yaitu faktorisasi prima atau pohon faktor.

Gambar 6. Pohon Faktor 6 dan 8 perwakilan pembagian kue kukus dan brownis.

Adapun langkah-langkah yang harus kalian lakukan untuk mencari nilai FPB sebagai berikut :

1. Buatlah pohon faktor dari bilangan-bilangan yang kalian cari nilai FPB-nya, seperti contoh pada Gambar 6.
2. Cari bilangan pokoknya dari pohon faktor.

Bilangan pokok dari 6 = 1 x 2 x 3

Bilangan pokok dari 8 = 1 x 2 x 2 x 2 = 1 x 2^3

3. Cari bilangan pokok yang sama dan memiliki pangkat terkecil.

Bilangan pokok dari 6 = 1 x 2 x 3
Bilangan pokok dari 8 = 1 x 2^3

Jadi didapat 1 dan 2.

4. Kalikan bilangan pokok tersebut. Maka, didapat nilai FPB dari 6 dan 8 adalah 1 x 2 = 2.

Sehingga, Ibumu harus membagi 2 masing-masing kue kukus dan brownis ke anak-anaknya. Kasus lain dapat kalian temu ketika kalian hendak kerja kelompok dan guru kalian memberi beberapa tugas kelompok ke kelompok kalian. Maka, kalian dapat mengaplikasikan pencarian FPB untuk menentukan seberapa banyak tugas yang dibebankan ke masing-masing anggota kelompok. Pencarian FPB sebenarnya juga diaplikasikan ketika kalian menemui soal peerkalian atau pembagian [13] dan penyederhanaan bilangan pecahan yang penyebutnya tidak sama satu-sama lainnya [14].

F. Latihan-Latihan Soal BAB V

Bagian A : Refleksi Diri

Dari apa yang kalian baca diatas coba beri tanggapan mengenai persamaan dan perbedaan antara Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)?
Beri pendapatmu tentang perkembangan pengetahuan KPK dan FPB, Jika Fibonacci tidak memperkenalkannya ke bangsa Eropa kurang lebih pada abad ke-12 sampai ke-15 ?
Apakah kamu secara pribadi sudah mempraktekkan secara tidak langsung penerapan KPK dan FPB pada kegiatanmu sehari-hari? Coba jelaskan dan berikan beberapa contohnya..
Menurutmu siapa yang berperan penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan tentang KPK dan FPB? Mengingat sejarah mencatat bahwa Fibonacci sempat hijrah ke negeri Islam, dimana ilmu pengetahuan disana berkembang terpengaruh oleh perkembangan ilmu pengetahuan bangsa India kuno.
Coba buatlah kesimpulan dari apa yang kamu dapatkan, setelah membaca materi-materi diatas. Buatlah semenarik mungkin, bisa menggunakan konsep "peta pikiran" atau beberapa poin-poin rangkumanmu.

Bagian B : Mari Berlatih Mandiri ! (Pilihan Ganda)

Soal Nomor 1

KPK dari 12 dan 30 adalah ....

a. 30

b. 48

c. 60

d. 120

Soal Nomor 2

FPB dari 28, 84, dan 96 adalah ....

a. 2

b. 4

c. 6

d. 8

Soal Nomor 3

Jika KPK dari bilangan a dan b adalah 140, maka di antara pasangan bilangna a dan b berikut yang memenuhi adalah ....

a. 14 dan 35

b. 21 dan 70

c. 28 dan 10

d. 35 dan 70

Soal Nomor 4

Jika FPB dari bilangan c dan d adalah 12 , maka di antara pasangan bilangan c dan d berikut yang memenuhi adalah ....

a. 104 dan 80

b. 120 dan 124

c. 108 dan 140

d. 108 dan 120

Bagian C : Mari Berlatih Mandiri ! (Uraian)

Soal Nomor 1

Pada suatu hari Vera dan Veronika belanja bersamaan di sebuah pasar swalayan. Vera belanja setiap 12 hari sekali. Sedangkan Veronika belanja setiap 14 hari sekali. Setelah berapa hari, Vera dan Veronika akan bersamaan belanja di Swalayan tersebut ?

Soal Nomor 2

Pada sebuah pertunjukan sirkus, terdapat 3 buah lampu, yaitu lampu warna merah, kuning dan hijau. Mula-mula ketiga lampu itu menyala bersamaan. Kemudian lampu merah menyala setiap 5 detik, lampu kuning menyala setiap 4 detik dan lampu hijau menyala setiap 8 detik. Tiap berapa detik ketiga lampu itu menyala bersamaan?

Soal Nomor 3

Tentukan KPK dari bilangan-bilangan berikut.

a. 12 dan 28

b. 25 dan 25

c. 16, 24 dan 36

d. 24, 48, dan 72

Soal Nomor 4

Tentukan FPB dari bilangan-bilangan berikut.

a. 36 dan 48

b. 24 dan 72

c. 24, 36, dan 72

d. 15, 30, 60 dan 105

Soal Nomor 5

Apakah 480 adalah KPK dari 120 dan 160? Jelaskan.

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian B (Pilihan Ganda)

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian C (Uraian)

Link Latihan Soal Tambahan : Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

Oh iya... bagi kalian yang tidak suka banyak membaca dan ingin mengetahui dan belajar lebih asik lagi. Kalian bisa kunjungi Channel Youtube yang saya buat khusus untuk video edukasi.

Masih tahap pembuatan sabar yak ... ^^

G. Daftar Pustaka

Buku paket K13- Matematika
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Egyptian_papyri/
ttps://www.advernesia.com/blog/matematika/penjumlahan-pecahan/
https://blog.ruangguru.com/fpb-dan-kpk-serupa-tetapi-tak-sama
https://saintif.com/kpk-dan-fpb/
https://jagokata.com/arti-kata/kelipatan.html
https://blog.ruangguru.com/fpb-dan-kpk-serupa-tetapi-tak-sama
https://en.wikipedia.org/wiki/Liber_Abaci
https://en.wikipedia.org/wiki/Greedy_algorithm_for_Egyptian_fractions
http://egyptianmath.blogspot.com/2008/11/least-common-multiples-modern-and.html
http://sevyourinfo.blogspot.com/2011/10/sejarah-pecahan.html#:~:text=Pecahan%20pertama%20kali%20muncul%20sekitar,7%20(pembilangnya%20selalu%201).
https://www.basic-mathematics.com/history-of-fractions.html
https://www.belajarmtk.com/perkalian-dan-pembagian-bilangan-pecahan/
https://bloglenek.blogspot.com/

Kenapa Belajar

Postingan Terbaru