7 SMP : Bab III Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat ~ Kenapa Belajar

BAB III

OPERASI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

Gambar 1. Piramida Mesir merupakan bukti salah-satu keajaiban dunia [14].

Era keemasan perkembangan ilmu pengetahuan di Bagdad (Kerajaan Islam), sekitar 780 M sampai dengan 850 M, hidup seorang pemikir yang bergelut pada salah-satu bidang,yaitu matematika bernama Al-Khawarizmi. Beliau mengenalkan konsep aljabar yang masih digunakan hingga sekarang. Didalam aljabar sendiri, sebenarnya sudah memuat dasar perhitungan matematika seperti operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Akan tetapi, jauh sebelum masa itu sekitar 3400 tahun SM tepatnya pada masa peradaban Mesir sudah mengetahui sistem-sistem hitungan dasar, seperti Operasi Penjumlahan dan Pengurangan, Operasi perkalian dan Operasi Pembagian [7]. Orang Mesir kuno menggunakan ilmu matematika yang mereka kembangan untuk menjalankan kegiatan perdagangan dan mengaplikasikannya dalam bangunan-bangunan piramida yang menjadi salah-satu keajaiban dunia saat ini yang diakui oleh UNESCO (seperti pada Gambar 1.). Catatan tentang sejarah perkembangan ilmu matematika Mesir kuno, tercatat pada ukiran di dinding-dinding piramida dengan menggunakan huruf dan angka Hieroglif, seperti Gambar 2. dibawah ini.

Gambar 2. Ukiran dinding piramida Giza dengan huruf Hieroglif.

Tau-kah kalian? Pada dasarnya Ilmu Pengetahuan yang kita dapat dan pelajari sekarang ini merupakan warisan dari orang-orang zaman dahulu. Seperti halnya pada bab III yang akan kita pelajari saat ini tentang Operasi Penjumlahan dan Pembagian bilangan bulat. Sebenarnya sudah diterapkan oleh masyarakat Mesir, yaitu oleh bangsa Egypth. Yuk kita cermati, apa saja pengetahuan-pengetahuan yang sudah digunakan oleh bangsa Egypth pada bidang Matematika. Seperti kata Bapak proklamator kita, "Jas Merah" = Jangan Sekali-kali Meninggalkan Sejarah". Ya...., karena dengan mengetahui sejarah, kita bisa mengetahui seluk-beluk apa saja yang terjadi didunia ini dan sebagai bahan pertimbangan kemajuan ilmu dimasa yang akan datang.

A. Sejarah Perkembangan Matematika Mesir

Peradaban Mesir pada 3400 SM memang banyak menyimpan misteri, termasuk perkembangan ilmu pengetahuan mereka dalam bidang matematika. Daerah di Mesir merupakan daerah gurun pasir dengan sumber mata air utamanya adalah sungai Niil. Diikuti dengan kebutuhan perdagangan membuat masyarakat Mesir dahulu (bangsa Egypth) berusaha mengembangkan bahasa untuk keperluan kemudahan berkomunikasi. Musim kemarau merupakan periode tantangan bagi bangsa Egypth, sehingga membuat mereka mempelajari ilmu astronomi untuk keperluan meramalkan cuaca [2]. Hieroglif merupakan huruf dan angka mesir kuno yang mengandung makna tertentu. Mereka menggunakannya untuk keperluan menulis dan berhitung. Seperti pada Tabel 1. dibawah ini.

Tabel 1. Angka Hieroglif (Hieratic numerals) bangsa Egypth [3].

Berikut adalah contoh bagaimana Masyarakat Mesir menuliskan Angka "2765" :

2765 = 2000 + 700 + 60 + 5

Sehngga, didapat gambar angka hieroglif seperti Gambar 3.

Gambar 3. Penulisan angka 2765 dalam angka Hieroglif [3].

Seperti halnya kita manusia dizaman modern ini yang menggunakan sistem bilangan posisional [6], dengan angka yang terletak paling kiri memiliki nilai yang terbesar dan sampai paling kanan yang terkecil [7]. Sistem bilangan masyarakat mesir kuno (bangsa Egypth), hampir mendekati sistem bilangan zaman sekarang. Mereka paham konsep penjumlahan dan pengurangan,serta mampu menjabarkan pula operasi perkalian dan pembagian kedalam konsep penjumlahan. Bukti menunjukkan bahwa Masyarakat Mesir kuno telah mengenal tanda operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Lihat Gambar 4. dibawah ini.

Gambar 4. Simbol-simbol operasi perhitungan matematika dalam huruf Hieroglif bangsa Egypth [9].

Sejarah mencatat bahwa ilmu pengetahuan masyarakat Mesir kuno telah digunakan oleh bangsa-bangsa lain atau bahkan diadopsi dan dikembangkan untuk sistem perhitungan dizaman sekarang ini [9] :

Operasi Penambahan (+), Ahli hitung Renaissance, Tartaglia, mempergunakan huruf pertama piu yang berasal dari bahasa Italia (plus) untuk menunjukkan penambahan. Tanda + kita barangkali merupakan bentuk penyingkatan (e)t (dan) dari bahasa Latin.
Operasi Pengurangan (-), Tanda minus ini pada zaman Yunani ditampilkan oleh Diophantus. Lambang pengurangan yang kita pakai sekarang ini mungkin berasal dari garis yang digunakan untuk menandai perbedaan-perbedaan berat produk.
Operasi Perkalian (x), Tanda x yang didasarkan pada Salib Santo Andreas. Simbol ini dikenal ketika lambang di atas digunakan Leibniz di Jerman pada abad ke-17. Akan tetapi menurut dia x itu terlalu mirip x untuk bilangan variabel dalam aljabar.
Operasi Pembagian (:), Di Negara Perancis, pada saat abad ke-18, Y.E. Gallimard menggunakan huruf D terbalik untuk pembagian. Tanda yang kita gunakan memiliki kemungkinan berasal dari garis pembagi sederhana yang ditambah dengan titik di atas dan di bawahnya.

B. Sistem Perkalian dan Pembagian Mesir Dahulu

Sistem perhitungan masyarakat Mesir dahulu telah dicatat pada secarik kertas yang panjangnya kurang-lebih 6 m. Dimana 1/3 dari bagian tersebut telah ditulis pada tahun 1650 SM dengan nama "Papirus". Papirus yang ditemukan saat ini ada 2, yakni "Papirus Rhind" pada Gambar 5. dan "Papirus Moscow" pada Gambar 6 [4].

Gambar 5. Papirus Rhind.

Gambar 6. Papirus Moscow.

Oleh seorang juru tulis Ahmes [5], dalam papirus Rhind, mengilustrasikan metode perkalian Mesir kuno dengan cara berikut. Asumsikan kita ingin mengalikan 41 dengan 59 (41 x 59). Ambil 59 dan tambahkan ke dirinya sendiri, lalu tambahkan jawabannya ke dirinya sendiri dan lanjutkan:

Contoh :
Penggandaan ke-1 ==> 59 (Tahap awal "pengambilan angka 59")
Penggandaan ke-2 ==> 59 + 59 = 118 (Tahap penjumlahan "ke dirinya sendiri")
Penggandaan ke-3 ==> 118 + 118 = 236 (Tahap penjumlahan selanjutnya " jawabanya ke dirinya sendiri")
dan seterusnya ......

Hingga, didapat Tabel 2., dimana proses penjumlahan bertingkat ini dilakukan sampai mendekati bilangan 41, yakni kita cukup dilakukan sampai 32. Sejak 64 lebih besar dari 41 , tidak perlu melampaui entri 32 . Sekarang lakukan sejumlah pengurangan.

Tabel 2. Tabel penggandaan penjumlahan bilangan pengali 41 [4].

41 - 32 = 9 , 9 - 8 = 1 , 1 - 1 = 0

Pengurangan diatas bertujuan untuk melihat bahwa :

41 = 32 + 8 + 1 .

Selanjutnya periksa angka di kolom sebelah kanan (pengali bilangan) yang sesuai dengan 32 , 8 , 1 dan tambahkan.

Tabel 3. Tabel pemilihan hasil pengandaan bilangan pengali 41 [4].

Dan kamu akan mendapatkan hasil bahwa :

41 x 59 = 59 + 472 + 1888 = 2419

Perhatikan bahwa perkalian dicapai hanya dengan penambahan. Untuk membuktikan kebenaran proses perhitungan perkalian masyarakat Mesir kuno ini. Mari kita balik yang semula 41 x 59 menjadi 59 x 41. Membalik faktor-faktor yang kita miliki akan menghasilkan Tabel 4. dengan proses pencarian penggandaan angka yang sama seperti persoalan 41 x 59 [4]:

Tabel 4. Tabel penggandaan penjumlahan bilangan pengali 59.

Sehingga, didapat :

59 x 41 = 41 + 82 + 328 + 656 + 1312 = 2419

Dalam kasus pembagian pun bekerja juga menggunakan penggandaan. Misalnya untuk membagi 1495 dengan 65 (1495 : 65) kita lanjutkan sebagai berikut:

Tabel 5. Tabel penggandaan penjumlahan bilangan pembagi 65 [4].

Berbeda dengan proses hitungan pengalian, di dalam proses hitungan pembagian Mesir kuno, penggandaan dijumlahkan sampai mendekati bilangan yang akan dibagi (tidak perlu melampaui 1040+1040 = 2080, karena 2080 lebih besar dari 1495).

Tabel 6. Tabel pemilihan hasil penggandaan bilangan pembagi 65 [4].

Sekarang kita mencari angka di kolom sebelah kanan yang berjumlah 1495 . Kita melihat bahwa :

1040 + 260 + 130 + 65 = 1495

dan kita mencentang baris di mana angka-angka ini muncul (sesuai pada Tabel 6.) Sekarang tambahkan angka di kolom sebelah kiri yang ada di baris yang dicentang:

16 + 4 + 2 + 1 = 23

Jadi, Hasil ahkir dari persoalan 1495 dibagi 65 adalah 23.

Bagaimana menurut kamu? Apakah ada yang mirip cara kita menghitung terkhusus proses perkalian dan pembagian yang kita lakukan saat ini dengan masyarakat Mesir Kuno?. Tentunya kalian sudah belajar dasar perkalian dan pembagian waktu menginjak di bangku SD bukan?. Yuk..., kita simak sekarang bagaimana cara kita melakukan proses perkalian dan pembagian dengan bilangan bulat. Agar kita dapat mengetahui persamaan dan perbedaan cara perkalian dan pembagian kita dengan masyarakat Mesir kuno.

Link video edukasi : Mengenal konsep perkalian dan pembagian Mesir Kuno

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

C. Perkalian dan Pembagian dengan Bilangan Bulat Modern

Perlu kalian ketahui bahwa sebenarnya masyarakat Mesir sudah melakukan proses perkalian dan pembagian dengan bilangan bulat. Walaupun, mereka belum mempunyai dasar yang pasti tentang apa yang dimaksud dengan bilangan bulat seperti halnya kita saat balita, belum mengetahui apa-apa tentang macam-macam angka dalam matematika. Tetapi intuisi kita akan perkembang seiring dengan pembelajaran yang kita lakukan terus-menerus. Dan pada ahkirnya kita tau yang dimaksud dengan bilangan bulat.

C.1. Operasi Perkalian dengan Bilangan Bulat

Jika kamu dihadapkan pada soal 1 dibawah ini [1]:

Gambar 7. Gedung 5 lantai.

Suatu gedung tersusun atas 5 lantai. Jika tinggi satu lantai gedung adalah 6 meter, tentukan tinggi gedung tersebut (tanpa menghiraukan tinggi atap gedung) ?

Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk perkalian.

5 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6

5 x 6 = 30

Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 30 meter.

Perlu kalian perhatikan bahwa didalam perkalian diatas, angka 5 sebagai pengali sedangkan angka 6 sebagai angka dasar. Sehingga, dapat diartikan 5 kali 6 (atau dapat ditulis dengan 5 x 6) adalah angka 6 yang dijumlahkan sebanyak 5 kali. Secara umum, dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut :

Gambar 8. Rumus dasar perkalian [1].

Pada operasi perkalian juga berlaku sifat komutatif, asosiatif dan distributif. Untuk sembarang bilangan bulat a, b dan c berlaku :

~> Komutatif

a x b = b x a

Mari kita buktikan dengan memasukan angka di a = 5 dan b = 6 :

5 x 6 = 6 x 5
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
30 = 30

Terbukti bahwa nilai dari kedua sisi bernilai sama dengan 30, yang menandakan persamaan a x b = b x a dengan menggunakan sifat komutatif adalah benar tanpa merubah nilai suatu persamaan.

~> Asosiatif

(a x b) x c = a x (b x c)

Mari kita buktikan dengan memasukan angka di a = 3 ; b = 4 dan c = 2 :

(3 x 4) x 2 = 3 x (4 x 2)
(4 + 4 + 4) x 2 = 3 x ( 2 + 2 + 2 + 2)
12 x 2 = 3 x 8
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 8 + 8 + 8
24 = 24

Terbukti bahwa nilai dari kedua sisi bernilai sama dengan 24, yang menandakan persamaan (a x b) x c = a x (b x c) dengan menggunakan sifat asosiatif adalah benar tanpa merubah nilai suatu persamaan.

~> Distributif

Perkalian terhadap penjumlahan :

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Mari kita buktikan dengan memasukan angka di a = 1 ; b = 2 dan c = 3 :

1 x (2 + 3) = (1 x 2) + (1 x 3)
1 x 5 = 2 + 3
5 = 5

Perkalian terhadap pengurangan :

a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

Mari kita buktikan dengan memasukan angka di a = 1 ; b = 2 dan c = 3 :

1 x (2 - 3) = (1 x 2) - (1 x 3)
1 x (-1) = 2 - 3
-1 = -1

Terbukti bahwa baik sifat distributif yang digunakan dalam persaoalan penjumlahan dan pengurangan. Keduanya tidak merubah hasil perhitungan dibuktikan dengan hasil kedua ruas bernilai sama.

Persoalan 5 x 6 (pada soal 1) merupakan perkalian antar dua bilangan bulat yang bernilai positif (+). Akan menjadi suatu hal yang menarik, jika kita sisipkan atau gunakan bilangan bulat negatif pada persoalan diatas. Pada bab II tentang penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat [selengkapnya, klik disini], kita sudah membahas tentang pengaruh bilangan bulat positif/negatif jika bertemu dengan tanda penjumlahan (+) atau pengurangan (-). Lihat selengkapnya pada Tabel 7.

Tabel 7. Perkalian dua bilangan bulat tak nol.

Keterangan :

Positif (+) adalah sebarang bilangan bulat positif (selain nol).
Negatif (-) adalah sebarang bilangan bulat negatif (selain nol).

Mari kita buktikan kebenaran Tabel 7., dengan berhitung. Anggaplah bilangan bulat positif (+) sebagai tindakan saat kamu melangkah ke kanan, sedangkan bilangan bulat negatif (-) sebagai tindakan saat kamu melangkah ke kiri. Untuk mempermudah kita gunakan bilangan bulat yang kecil, misal a = 2 dan b = 3.

Catatan 1 : Perlu kamu ketahui bahwa kita bisa menuliskan bilangan bulat positif (+) tanpa tanda yang menyertainya, seperti halnya saat kita menuliskan angka 3. Itu sudah mewakili bilangan bulat +3 dalam matematika.

Pembuktian 1 : Positif (+) x Positif (+) (berarti kita menghendaki a = +2 dan b = +3)

a x b = (+2) x (+3)
a x b = 2 x 3 (penjelasan berdasarkan Catatan 1)
a x b = 3 + 3 (sesuai dengan rumus perkalian dasar pada Gambar 8.)
a x b = 6 = +6 (terbukti menghasilkan bilangan bulat positif)

Pembuktian 2 : Positif (+) x Negatif (-) (berarti kita menghendaki a = +2 dan b = -3)

a x b = (+2) x (-3)
a x b = 2 x (-3) (penjelasan berdasarkan Catatan 1)
a x b = -3 + (-3) (sesuai dengan rumus perkalian dasar pada Gambar 8.)
a x b = -6 (terbukti menghasilkan bilangan bulat negatif)

Pada bab II sebelumnya sudah dibahas mengenai penjumlahan antar 2 bilangan bulat negatif [baca selengkapnya disini].

Pembuktian 3 : Negatif (-) x Positif (+) (berarti kita menghendaki a = -2 dan b = +3)

a x b = (-2) x (+3)
b x a = (+3) x (-2) (menggunakan sifat komutatif)
b x a = 3 x (-2) (penjelasan berdasarkan Catatan 1)
b x a = -2 + (-2) + (-2) (sesuai dengan rumus perkalian dasar pada Gambar 8.)
b x a = -6 (terbukti menghasilkan bilangan bulat negatif)

Bagaimana sampai dari sini di pembuktian ketiga, Apakah kamu merasa kesulitan dengan menjelasan menggunakan perhitungan angka-angka?. Jika iya dan masih belum paham. Mari kita lakukan pembuktian dengan cara yang berbeda berdasarkan intuisi kita mengenai sikap. Coba kalian isi Tabel 8. dibawah ini berdasarkan pendapat kalian.

Tabel 8. Keterkaitan konsep ketaqwaan dengan operasi perkalian bilangan bulat [1].

Link video edukasi : Mengenal konsep perkalian dasar Bilangan Bulat

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

C.2. Operasi Pembagian dengan Bilangan Bulat

Dapatkah kamu menjawab soal 2 berikut ini?

Seekor Tupai mula-mula berdiri di titik 0. Tupai itu melompat ke kanan melewati beberapa ranting pohon. Dalam sekali melompat, Tupai itu dapat melewati 3 ranting pohon. Jika Ia hendak ingin melewati 15 ranting pohon. Berapa kali Tupai harus melompat?. Persoalan ini dapat diselesaikan dengan mengilustrasikan banyak lompatan tupai ke dalam garis bilangan, seperti pada Gambar 9.

Anak panah berwarna merah mewakili jauh lompatan tupai sekali lompat. Anggap 1 ranting adalah 1 satuan. Maka, dapat kita hitung bahwa Tupai harus melakukan 5 kali lompatan untuk menempuh 15 satuan ke kanan. 5 kali lompatan atau 5 satuan ini lah hasil dari pembagian 15 : 3.

Gambar 9. Ilustrasi tupai melompat dengan garis bilangan.

Sehingga, Ilustrasi tupai melompat tadi dapat dituangkan kedalam suatu formula untuk operasi pembagian dasar, yakni kita bisa memanfaatkan operasi pengurangan.

Gambar 10. Rumus dasar pembagian.

Perlu diingat bahwa dalam pembagian hasil ahkirnya akan dicapai, ketika operasi pengurangan suatu bilangan bulat a dikurangankan terus-menerus dengan suatu bilangan bulat b sampai menyisakan 0. Lalu, banyak pengurangan dihitung dan merupakan perwakilan hasil pembagian dari a:b. Sebagai contoh 15 dibagi dengan 3 :

15 : 3 = 15 - 3 = 12 - 3 = 9 - 3 = 6 - 3 = 3 - 3 = 0

atau dapat dipersingkat :

15 : 3 = 15 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0

Kita dapat melihat bahwa sudah menuliskan -3 sebanyak 5 kali. Jadi 15;3 = 5. Sebenarnya, operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Jika kalian cermati lebih detail lagi cobalah memindah pembagi 3 ke ruas kanan. Maka, dapat dituliskan :

15 : 3 = 5

15 = 5 x 3

15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

Jika kita pindah ruaskan "3 + 3 + 3 + 3 + 3" ke sebelah kiri :

15 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0

Kita menuliskan nol pada ruas kiri dari operasi hitung diatas, karena semua angka 3 habis dipindahkan ke kanan. Ya, memang benar. Inilah alasan mengapa pada rumus dasar pembagian dipilih tanda pengurangan (-) untuk menggambarkan proses dari operasi pembagian.

Bentuk lain, dari operasi pembagian bisa kita wakilkan dengan perkalian dengan bilangan pecahan [dibahas pada bab IV, baca selengkapnya disini]. Dapat kita tuliskan sebagai berikut :

Gambar 11. Bentuk lain dari operasi pembagian.

Yang unik dari operasi pembagian adalah tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif. Sehingga, hanya berlaku sifat distributif.

~> Distributif

Pembagian terhadap penjumlahan :

(a + b) / c = (a / c) + (b / c)

Mari kita buktikan dengan memasukan angka di a = 9 ; b = 6 dan c = 3 :

(9 + 6) / 3 = (9 / 3) + (6 / 3)
15 / 3 = 3 + 2
5 = 5

Pembagian terhadap pengurangan :

(a - b) / c = (a / c) - (b / c)

Mari kita buktikan dengan memasukan angka di a = 9 ; b = 6 dan c = 3 :

(9 - 6) / 3 = (9 / 3) - (6 / 3)
3 / 3 = 3 - 2
1 = 1

Terbukti bahwa baik sifat distributif yang digunakan dalam persaoalan penjumlahan dan pengurangan. Keduanya tidak merubah hasil perhitungan dibuktikan dengan hasil kedua ruas bernilai sama.

Kira-kira kenapa hanya berlaku sifat distributif pada operasi pembagian, ya? Apakah kamu mengetahui alasannya? atau bahkan bisa membuktikan dengan perhitungan?. Mau tau selengkapnya, kalian bisa mendownload video edukasi tentang pembahasan operasi pembagian dasar. Linknya Adimn tautkan dibawah. Semoga bermanfaat dan menambah wawasan kalian ^^.

Link video edukasi : Mengenal konsep pembagian dasar Bilangan Bulat

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

D. Kesimpulan Materi

Jika diamati antara proses operasi perkalian dan pembagian dari masyarakat Mesir kuno (bangsa Egypth) ternyata mempunyai persamaan dan perbedaan dengan yang kita pelajari pada zaman sekarang. Mulai dari cara mengolahnya dan cara menuliskannya.

Persamaan :

1.) Pada operasi perkaliannya menggunakan operasi penjumlahan berturut-turut dari bilangan dasarnya.
Misal, perkalian antara 10 x 3 :

Pada zaman Mesir Kuno :

Tabel 9. Sistem penggandaan untuk operasi perkalian 10 x 3.

Karena, bilangan pengali :

10 - 8 = 2 - 2 = 0 (acuan dalam menentukan bilangan dasar)

Sehingga, dipilih hasil penggandaan bilangan dasar pada baris bilangan pengali 8 dan 2:

10 x 3 = 24 + 6 = 30

Pada zaman sekarang :

10 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 30

2.) Sistem operasi perkalian masyarakat Mesir kuno dan zaman sekarang menggunakan sama-sama penggunakan penjumlahan berturut-turut sesuai bilangan dasar yang dikalikan.

Perbedaan :

1.) Pada proses operasi perkalian, masyarakat Mesir menggunakan operasi pengurangan dan penjumlahan. Sedangkan, pada zaman sekarang hanya digunakan penjumlahan.

2.) Pada proses operasi pembagian, masyarakat Mesir menggunakan operasi penjumlahan. Sedangkan pada zaman sekarang, bisa menggunakan operasi pengurangan (dengan bilangan bulat) atau operasi penjumlahan (dengan bilangan pecahan, dimana bentuk pembagian dialih bentukan ke bentuk perkalian).

3.) Operasi perkalian dan pembagian masyarakat Mesir kuno, masih belum menggunakan bilangan bulat negatif. Sedangkan pada zaman sekarang, bisa menggunakan bilangan bulat positif dan negatif.

4.) Operasi perkalian dan pembagian masyarakat Mesir kuno, masih belum mengenal sifat komutatif,asosiatif dan distributif. Sedangkan, pada masa sekarang sudah mengenal ketiga sifat tersebut.

Bagaimana dari persamaan dan perbedaan untuk operasi perkalian dan pembagian masyarakat Mesir kuno dengan zaman sekarang? Apakah kamu berpendapat sama bahwa sebenarnya ilmu pengetahuan yang kita pelajari saat ini mengenai operasi perkalian dan pembagian dasar berasal atau mengadopsi lalu dimodifikasi sedemikian rupa dari ilmu pengetahuan masyarakat Mesir kuno?. Yuk bangun diskusi edukasi tentang hal ini, kalian dapat memberikan pendapat melalui kolom komentar ^^. Oh...ya, dan perlu kalian catat bahwa simbol-simbol penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang selama ini kita gunakan sebenarnya juga mempunyai kemiripan dengan tanda Hieroglif masyarakat Mesir kuno dan sudah admin jelaskan sebelumnya diawal. Walaupun ada sejarah mencatat bahwa peradaban Babylonia telah muncul terlebih dahulu dan memiliki catatan-catatan sejarah tentang ilmu pengetahuan serupa saat ini. [baca selengkapnya : sumber 1 ; sumber 2]

Tetapi setelah admin telusuri lebih dalam dari berbagai sumber,(seperti admin lebih condong menggunakan sumber website dari artikel website universitas). Admin berpendapat bahwa sistem perhitungan dari masyarakat Mesir kuno inilah yang paling mendekati dengan sistem perhitungan kita saat ini. Mungkin dari kamu ada sumber-sumber lain yang dapat memberikan sumbangan pencerahan kepada Admin. Alangkah baiknya boleh berbagi ^^..., silahkan tinggalkan di kolom komentar.

E. Latihan-Latihan Soal BAB III

Bagian A : Refleksi Diri

Dari apa yang kalian baca diatas coba beri tanggapan mengenai persamaan dan perbedaan antara operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat saat ini?
Apa saja tanggapanmu mengenai masyarakat zaman dahulu dengan zaman sekarang mengenai sistem operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat ?
Apakah menurutmu ilmu pengetahuan yang kamu dapat saat ini merupakan warisan dari nenek moyang kita zaman dahulu? Jelaskan dan beri contoh tindakan nyata dari dirimu sendiri untuk menghormati hal tersebut!.
Buatlah kesimpulan dari pendapatmu berdasarkan apa yang kamu baca diatas (poin A s/d C). Dan berilah komentar berdasarkan pengamatan disekitarmu sehari-hari. Apakah dirimu dan masyarakat disekitarmu sudah mempraktekan ilmu yang kamu dapat ? (Mengenai operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat).
Isilah Tabel 10. Tabel perkalian dasar 9 x 9. Tentunya sebenarnya sudah melakukannya di jenjang Sekolah Dasar. Lalu analisalah untuk apa kegunaan dari Tabel 10. tersebut dalam memecahkan persoalan perkalian dan pembagian yang menggunakan bilangan bulat bernilai besar (misal: ribuan = 123.000 x 117 atau sebagainya) ?

Tabel 10. Tabel perkalian dasar 9 x 9.

Bagian B : Mari Berlatih Mandiri ! (Pilihan Ganda)

Soal Nomor 1

Suatu mobil dapat terisi bahan bakar hingga penuh sebanyak 45 liter. Mobil tersebut menghabiskan 8,5 liter untuk setiap berkendara sejauh 100 km. Suatu perjalanan sejauh 350 km dimulai dengan kondisi tanki bahan bakal penuh. Banyak bahan bakan yang bersisa di mobil tersebut ketika sampai tujuan adalah ...

a. 15,25 liter

b. 16,25 liter

c. 24,75 liter

d. 29,75 liter

Soal Nomor 2

Wulan mengalikan suatu bilangan dengan 100 dan mendapatkan hasil 450. Jika bilangan yang sama dengan Wulan tersebut dibagi 100 oleh Okta, maka bilangan yang dihasilkan adalah ...

a. 0,0045

b. 0,045

c. 0,45

d. 4,5

Soal Nomor 3

Jika a / b = 50, maka a / (2 x b) adalah .....

a. 25

b. 48

c. 52

d. 100

Soal Nomor 4

Sekitar 6.000 eksemplar majalah terjual dalam minggu ini. Perkirakan banyak majalah yang akan terjual dalam tahun tersebut.

a. 7.200 eksemplar

b. 30.000 eksemplar

c. 72.000 eksemplar

d. 300.000 eksemplar

Soal Nomor 5

Jika X=8, Y=3, dan Z=24, maka bentuk di bawah ini yang benar adalah ...

a. X = Y x Z

b. X = Y / Z

c. X = Z / Y

d. X = Z + Y

Bagian C : Mari Berlatih Mandiri ! (Uraian)

Soal Nomor 1

Tentukan hasil dari perkalian berikut :

a. 400 × (−60)

b. (−40) × 600

d. (−400) × (−600)

Soal Nomor 2

Tentukan hasil dari :

a. 5 × ( 15 − 6)

b. 12 × ( −7) + (−16) ÷ (−2)

c. − 15 ÷ (−3) − 7 × (−4)

Soal Nomor 3

Dina dapat berlari 4 putaran di lintasan dengan waktu yang sama dibutuhkan oleh Fatin untuk berlari 3 putaran di lintasan yang sama. Ketika Fatin telah berlari sejauh 12 putaran, maka seberapa jauh Dina telah berlari di lintasan tersebut?

Soal Nomor 4

Bilangan 123 jika dikalikan 7 × 11 × 13 hasilnya adalah 123.123.

Bilangan 234 jika dikalikan 7 × 11 × 13 hasilnya adalah 234.234.

(Silakan dicek)

Jika kita perhatikan, hasil perkalian kedua bilangan tersebut menghasilkan bilangan kembar pada angka-angka penyusunnya. Angka satuan sama dengan angka ribuan, angka puluhan sama dengan angka puluh ribuan, serta angka ratusan sama dengan angka ratus ribuan. Pertanyaan:

Apakah perkalian seperti itu berlaku untuk semua bilangan? (ya / tidak). Jika tidak, jelaskan pada bilangan yang bagaimana perkalian yang menghasilkan 3 angka.
Pada bilangan yang bagaimana perkalian tersebut berlaku? Jelaskan.

Soal Nomor 5

Seekor katak mula-mula di titik 0. Katak itu dapat melompat ke kiri atau ke kanan. Sekali melompat jauhnya 4 satuan. Jika katak melompat dua kali ke kanan, kemudian 3 kali ke kiri, tentukan posisi katak itu setelah lompatan terakhir.

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian A (Refleksi Diri, poin 5)

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian B (Pilihan Ganda)

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian C (Uraian)

Link Latihan Soal Tambahan : Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

Oh iya... bagi kalian yang ingin mengetahui cara cepat perkalian bisa kunjungi laman ini. [info selengkapnya, klik disini] Masih tahap pembuatan sabar yak ... ^^

Kenapa Belajar

Postingan Terbaru