7 SMP : Bab II Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat ~ Kenapa Belajar

BAB II

OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT

Tahu-kah kalian sistem perhitungan untuk operasi penjumlahan dan pengurangan dengan digit-digit angka sudah dikenal oleh masyarakat kuno. Seperti halnya sistem perhitungan untuk operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat yang saat ini kita gunakan merupakan hasil perkembangan dari berbagai sistem bilangan pada zaman dahulu. Bukti sejarah mengemukakan bahwa bangsa Babilonia telah menggunakan sistem hitungan dasar penjumlahan dan pengurangan yang telah diukir pada tanah liat dengan ukiran menggunakan benda tajam yang disebut dengan "Cuneifrom" seperti pada gambar disamping. Manuskrip ini telah diteliti oleh bangsa-bangsa didunia dan di terjemahkan dalam berbagai bahasa serta dikembangkan. Salah-satu tokoh ilmuwan yang berperan penting dalam sistem hitungan adalah Al-Khawarizmi dari bangsa Arab. Beliau dikenal sebagai "Bapak Aljabar" yang menerangkan konsep-konsep hitungan penjumlahan dan pengurangan dengan menggunakan bilangan bulat positif dan negatif [Baca Materi sebelumnya tentang bilangan bulat].

A. Sejarah Perkembangan Sistem Hitungan

Jauh sebelum masyarakat kuno mengenal operasi hitungan, mereka hanya bisa menyebutkan suatu jumlah bertambah atau berkurang tanpa mengetahui jumlah pasti dari hitungan yang mereka sebutkan. Kebanyakan masyarakat kuno lainnya yang lebih maju menggunakan media disekitar (berupa kerikil, ranting pohon, tanah liat dan masih banyak lagi) dan simbol-simbol sebagai alat bantu berhitung [2]. Era keemasan operasi penjumlahan dan pengurangan mulai populer ketika seorang ilmuwan dari bangsa Arab mengenalkan konsep aljabar matematika, yakni Al-Khawarizmi. Beliau mengenalkan pula, konsep bilangan negatif dan angka nol yang sangat berpengaruh dalam penyelesaian operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat yang kita pelajari saat ini. Katakanlah bagi manusia modern saat ini, proses perhitungan penjumlahan dan pengurangan sangat mudah diterapkan.

Gambar 1. Ilustrasi sistem barter alternatif perdagangan kuno [11].

Jika manusia modern bisa menyebutkan suatu jumlah dengan nama dan angka. Misalnya terdapat jeruk didalam kotak dengan jumlah 53 buah atau dapat kita sebutkan "lima puluh tiga" buah. Lain halnya dengan masyarakat kuno, mereka paham bahwa terdapat jeruk di dalam kotak akan tetapi tidak tahu seberapa banyak jeruk tersebut secara detail. Mereka hanya bisa menyebutkan jumlah berdasarkan pengamatan dan presepsi mereka "banyak" atau "sedikitnya" suatu jumlah. Semangat untuk mempelajari operasi hitungan mulai berkembang atas dasar kebutuhan karena masyarakat kuno sudah mengenal istilah berdagangan dengan sistem "barter". Sistem perdagangan tersebut menghendaki menukar suatu benda dengan nilai yang setara baik dari segi kegunaan atau jumlah terhadap benda lain.

Bilangan bulat biasa digunakan untuk menyatakan pernyataan yang berupa data kuantitatif (data disajikan dalam angka-angka) memiliki 2 jenis, yakni bilangan bulat positif dan negatif [Baca Materi sebelumnya tentang bilangan bulat]. Bilangan bulat tersusun atas bilangan asli, yakni dituliskan dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Dalam operasi hitung saat ini, kedua jenis bilangan bulat memainkan peran yang penting untuk mewakilkan proses dan hasil operasi hitungan (penjumlahan dan pengurangan).

B. Bagaimana Menghitung dengan Bilangan Bulat ?

Gambar 2. Garis bilangan matematika.

Pada materi kali ini, kalian akan belajar tentang operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, baik menggunakan bilangan bulat positif maupun negatif. Untuk mempermudah perhitungan, kita bisa menggunakan alternatif bantuan dengan "garis bilangan". Tentu kalian sudah taukan apa yang dimaksud dengan "garis bilangan"?. Garis bilangan merupakan suatu gambar garis lurus dengan setiap titiknya dapat kita anggap melambangkan angka dan terletak pada titik tertentu. Sebagai contoh Ria mempunyai 3 buku, lalu keesokan harinya Ria membeli lagi 2 buku. Berapakah buku yang dimiliki oleh Ria sekarang?.

Gambar 3. Gambar buku.

Kita bisa menggunakan bantuan garis bilangan untuk mempermudah pemahaman kita dalam operasi hitungan. Pada awalnya Ria hanya memiliki 3 buah buku pada garis bilangan kita bisa melambangkannya sebagai "anak panah hitam" yang mengarah ke kanan pada garis bilangan. Karena Ria membeli lagi 1 buah buku keesokan harinya, kita bisa beranggapan "anak panah hitam diawal" bergerak ke kanan lagi 1 langkah sesuai gambar "anak panah hijau". Sehingga, keseluruhan gerak anak panah tersebut, dapat kita wakilkan dengan gambar "anak panah merah" yang bergerak kenan 4 langkah. Mari kita perhatikan garis bilangan pada Gambar 4.

Gambar 4. Operasi penjumlahan 3 + 1.

Jadi, Ria saat ini memiliki 4 buah buku. Contoh diatas merupakan operasi penjumlahan dengan bilangan bulat positif. Ciri khas dari operasi penjumlahan adalah bilangan yang dihasilkan dari proses penjumlahan akan semakin besar bergantung dari tipe kedua atau lebih bilangan bulat yang digunakan (positif atau negatif). Sebagai contoh, kita asumsikan ketika seseorang bergerak ke kiri maka bilangan tersebut adalah bilangan bulat negatif. Sedangkan, orang yang bergerak ke kanan maka bilangan tersebut adalah bilangan bulat positif. Ardi bergerak ke kiri 1 langkah lalu bergerak lagi 3 langkah ke kiri. Mari perhatikan Gambar 5.

Gambar 5. Operasi penjumlahan -3 + (-1).

Karena Ardi berjalan ke kiri maka kita bisa menganggap langkah yang diambil Ardi sebagai bilangan bulat negatif. Sehingga, -1 untuk 1 langkah ke kiri kemudian Ardi berjalan lagi sejauh -3 untuk 3 langkah ke kiri dan didapat -4 untuk total langkah Ardi bergerak ke kiri dari titik awal. Lain halnya dengan operasi pengurangan baik bilangan bulat positif maupun negatif. Ciri khas dari operasi pengurangan adalah hasil yang diberikan dari kedua bilangan bulat atau lebih merupakan selisih jarak antar keduanya. Sebagai contoh, Ardi berjalan ke kiri 4 langkah, lalu berjalan ke kanan 6 langkah. Berapa langkah Ardi bergerak dari titik awal ?. Lihat Gambar 6. dibawah ini.

Gambar 6. Operasi pengurangan -4 - (+6).

Langkah kedua yang dipilih Ardi berlawanan dengan langkah pertama. Sehingga, apabila kita amati total langkah yang dilakukan Ardi agar berpindah dari titik awal (0) ke titik ahkir (2) pada garis bilangan hanya 2 langkah ke kanan sesuai gambar "anak panah merah". Hal ini disebabkan terjadi pengurangan, jika diterapkan 2 jenis bilangan bulat dalam 1 operasi hitungan (penjumlahan atau pengurangan). Perlu kita telaah lebih dalam bahwa :

➢ Saat bilangan bulat positif bertemu dengan operasi penjumlahan. Maka tanda operasi hitung akan tetap sama positif (+).

Contoh : +1 + (+3) = 1 + 3 = 4

➢ Saat bilangan bulat positif bertemu dengan operasi pengurangan. Maka tanda operasi hitung akan berubah menjadi negatif (-).

Contoh 1 : +1 + (-3) = 1 - 3 = -2
Contoh 2 : -1 + (-3) = -1 - 3 = -4

➢ Saat bilangan bulat negatif bertemu dengan operasi pengurangan. Maka tanda operasi hitung akan berubah menjadi positif (+).

Contoh : +2 - (-5) = 2 + 5 = 7

C. Macam-macam Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat.

Sifat Penjumlahan dalam konteks penjumlahan suatu bilangan, yang selama ini kita kenal terdapat 2 macam, yaitu :

⧫ Sifat Komutatif (Berkebalikan)

a + b = b + a

Pembuktian : Mari kita masukan nilai a = 5 dan b = 2 :
a + b = b + a
5 + 2 = 2 + 5
7 = 7 (Benar)

Diatas merupakan bentuk operasi penjumlahan secara komutatif, yang menyatakan bahwa nilai penjumlahan untuk ruas kiri dan kanan harus sama. Taukah kalian bahwa orang zaman dahulu sebenarnya sudah menerapkan hal ini dalam sistem barter. Walaupun pada prinsipnya bilang yang dihitung secara detail tidak sama persis antar kedua sisi (karena mereka belum mengerti "operasi hitungan" bahkan bilangan"). Namun mereka paham bahwa barang yang harus di tukar setidaknya bernilai sama secara kasat mata antar lawan barter. Katakanlah kalian ingin menukar 1 apel dengan temanmu, maka temanmu harus menukar 1 barangnya ke dirimu.

Sifat komutatif ini, tidak berlaku untuk persoalan pengurangan dalam hitungan. Sebagai contoh, mari kita isikan angka dengan nilai a = 5 dan b = 2 :

a - b = b - a
5 - 2 = 2 - 5
3 = -3 (Tidak benar, karena 3 tidak sama dengan -3)

Dari contoh diatas sudah menjelaskan bahwa sifat komutatif tidak berlaku untuk operasi hitung pengurangan.

⧫ Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

Dalam sifat Asosiatif mengartikan bahwa dalam melakukan perhitungan mengenal istilah kelompok hitungan. Secara umum, Operasi hitung asosiatif dapat dituliskan dibawah ini.

a + (b + c) = (a + b) + c

Ciri khas perhitungan dengan sifat Asosiatif adalah terdapat 2 atau lebih tanda operasi hitung (tanda penjumlahan). Namun sifat Asosiatif ini tidak dapat diterapkan dalam perhitungan pengurangan seperti pada sifat Komutatif. Nah kalian sudah belajar tentang sifat-sifat penjumlahan dengan bilangan bulat. Sekarang mari kita coba latihan soal biar semakin jelas dan mantap lagi apa yang sudah kita pelajari. Coba kalian perhatikan dan kerjakan latihan soal Tabel 1 dibawah .

Tabel 1. Tabel Latihan Soal Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat [1].

Link video edukasi : Pembelajaran Penjumlahan & Pengurangan Bilangan Bulat

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

D. Apa itu Bilangan Genap dan Ganjil ?

Kalian tentu paham bukan operasi pengurangan dan pembagian memiliki kesamaan? Yakni bilangan yang dihasilkan akan semakin kecil dari bilangan sebelumnya. [baca selengkapnya, materi operasi pembagian] Nah kali ini, admin akan mengajarkan kalian cara membedakan bilangan genap dan ganjil dengan memanfaatkan konsep operasi pengurangan.

Menurutmu apakah 2 dan 4 termasuk bilangan genap? Coba perhatikan kesamaan dari kedua bilangan tersebut. Jika kita uraikan dengan pengurangan 2 berturut-turut bahwa :

4 - 2 = 2 ==> 2 - 2 = 0.

Sedangkan, 2 - 2 = 0.

Menarik bukan? keduanya memiliki kesamaan yakni jika keduanya dikurangkan dengan bilangan 2 terus-menerus menghasilkan bilangan 0 atau tidak tersisa. Inilah yang disebut bilangan genap. Dengan kata lain, Bilangan Genap adalah bilangan yang anggota-anggotanya dapat habis dibagi 2. Sedangkan, Bilangan Ganjil adalah bilangan yang anggota-anggotanya tak dapat habis dibagi 2, pasti menyisahkan 1. Contoh bilangan 3 dan 5. Jika kita uraikan dengan pengurangan 2 berturut-turu tbahwa :

3 - 2 = 1
Sedangkan 5 - 2 = 3 ==> 3 - 2 = 1 (selalu menyisahkan angka 1)

Lalu bagaimana jika bilangan genap dan ganjil saling bertemu saat kita melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat?. Kira-kira apakah kalian bisa menjawab pertanyaan ini?. Admin akan coba memberimu latihan soal sederhana dibawah ini.

Tabel 2. Latihan Soal : Bilangan Genap dan Genap [1].

Tabel 3. Latihan Soal : Bilangan Genap dan Ganjil [1].

Tabel 4. Latihan Soal : Bilangan Ganjil dan Ganjil [1].

Dari ketiga tabel (Tabel 1.,2., dan 3.)diatas, isilah kolom "Bilangan I" dan ""Bilangan II dengan bilangan bebas sesuai ketentuan yang dituliskan. Lalu hitung masing-masing bilangan yang dihasilkan dan buatlah kesimpulan dari ketiga tabel tersebut.

E. Latihan-Latihan Soal BAB II

Bagian A : Refleksi Diri

Dari apa yang kalian baca diatas coba beri tanggapan mengenai perbedaan antara operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat ?
Apa saja tanggapanmu mengenai masyarakat zaman dahulu dengan zaman sekarang mengenai sistem operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat ?
Apakah menurutmu penting mengetahui sejarah ? terkhusus dalam hal ilmu pengetahuan alam. Dan beli alasannya mengapa?
Buatlah kesimpulan dari apa yang kalian baca diatas. Dan berilah komentar berdasarkan pengamatan disekitarmu sehari-hari. Apakah dirimu sudah mempraktekan ilmu yang kalian dapat ? (Mengenai operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat).

Bagian B : Mari Berlatih Mandiri ! (Pilihan Ganda)

Soal Nomor 1

Berdasarkan sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat. 693 + 207 hasilnya lebih dekat dengan ...

a. 600 + 200

c. 700 + 300

b. 700 + 200

d. 900 + 200

Soal Nomor 2

Angka 9, 2, 4, dan 5 akan disusun menjadi dua bilangan berbeda. Bilangan pertama disusun dari keempat angka dengan susunan dari angka terbesar ke angka terkecil. Bilangan kedua disusun dari empat angka dengan susunan dari angka terkecil ke angka terbesar. Selisih dari bilangan terbesar dengan terecil yang dihasilkan adalah ...

a. 3.816

b. 7.083

c. 4.816

d. 8.183

Bagian C : Mari Berlatih Mandiri ! (Uraian)

Soal Nomor 1

Pak Abdul mempunyai hutang pada Pak Boas sebesar Rp700.000,00. Karena anak Pak Abdul mengalami kecelakaan, Ia terpaksa meminjam uang lagi pada Pak Boas sebesar Rp200.000,00.

Gambarkanlah permasalahan ini pada garis bilangan
Tentukan berapa hutang Pak Abdul seluruhnya kepada Pak Boas.

Soal Nomor 2

Seorang turis di Selat Sunda melihat seekor ikan lumba-lumba meloncat sampai 4 m di atas permukaan laut. Kemudian ikan tersebut kembali ke laut menyelam sampai 9 m di bawah permukaan laut.

Gambarlah pada garis bilangan posisi ikan lumba-lumba dari mulai meloncat sampai menyelam lagi.
Tentukan selisih ketinggian meloncat dan kedalaman menyelam ikan lumba-tersebut.

Soal Nomor 3

Tentukan hasil dari (tanpa menghitung satu persatu).

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 99
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ... − 100
−100 − 99 − 98 − … − 2 − 1 − 0 + 1 + 2 + ... + 48 + 49 + 50

Soal Nomor 4

Pak Agum memiliki usaha penjualan ayam potong di pasar. Pada bulan pertama ia mendapat untung 4 juta. Bulan kedua, Pak Agum mengalami kerugian sebesar 6 juta. Pada bulan ketiga dan keempat, hasil penjualan Pak Agum mengalami kerugian sebesar 2 juta dan 3 juta.

Apakah Pak Agum mengalami untung atau rugi dari hasil penjualan pada bulan pertama dan kedua?
Hitunglah total kerugian Pak Agum untuk bulan ketiga dan keempat?

Soal Nomor 5

Dalam suatu kelas terdapat 38 siswa, 15 siswa di antaranya adalah perempuan. 13 siswa suka mengendarai sepeda ke sekolah dan 9 di antaranya adalah perempuan. Tentukan banyak siswa laki-laki yang tidak suka mengendarai sepeda ke sekolah.

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian B (Pilihan Ganda)

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian C (Uraian)

Link Latihan Soal Tambahan : Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

Kenapa Belajar

Postingan Terbaru