7 SMP : Bab IV Bilangan Bulat Berpangkat Positif

  

BAB IV

BILANGAN BULAT BERPANGKAT POSITIF

"Bilangan Eksponen"

Gambar 1. Animasi Gambaran Bilangan Pangkat [sumber].

      Pada Gambar 1., pernahkah kalian menemui tulisan yang terdapat di papan tersebut di buku-buku pelajaran?. Huruf "x" dipapan tersebut, dalam istilah matematika disebut dengan variabel, yaitu nilai yang dapat berubah dalam suatu cakupan soal atau himpunan operasi yang diberikan [10]. Jadi, seperti halnya saat kita menuliskan rumus persegi.

L = s x s

Keterangan :     L = Luas persegi (m*m)

                        s = sisi persegi (m)

   Huruf "s" disini merupakan sebuah variabel, yang mewakili nilai daripada panjang sisi-sisi persegi. Jadi, pada papan di Gambar 1. tersebut, kita dapat menyebut "x" sebagai variabel yang mewakili suatu nilai. Mari kita bayangkan "x" merupakan bilangan bulat. Kalian tentunya sudah tau apa itu bilangan bulat bukan?. Jika, kalian masih belum tau atau lupa silahkan baca materi sebelumnya [Bab I : Membandingkan Bilangan Bulat]. x⁴ merupakan bilangan eksponen atau bilangan berpangkat.

    Apa itu bilangan eksponen atau bilangan berpangkat?. Jika dari kalian yang masih belum paham tentang bilangan eksponens atau bilangan berpangkat, mari simak pembahasan berikut ini. 

A. Mengenal Bilangan Eksponen atau Berpangkat

   Pada dasarnya bilangan pangkat bukanlah suatu sistem bilangan atau jenis bilangan, melainkan suatu konsep atau metode penulisan suatu bilangan [2]. Jenis bilangan itu banyak, ada bilangan Bulat, bilangan Cacah, bilangan Pecahan, bilangan Desimal dan lain sebagainya yang tentunya kalian sudah mengetahuinya di bangku Sekolah Dasar. Lalu didalam bilangan berpangkat, konsep atau metode penulisan seperti apa sih yang dimaksud?. Kalau di perkalian kita sudah mengenal istilah bilangan pengali (faktor pengali) dan bilangan yang dikali atau bilangan pokok. Contoh :

2 x 3 = 6

Bilangan "2" merupakan bilangan yang dikali atau bilangan pokok

Bilangan "3" merupakan bilangan pengali (faktor pengali)

Bilangan "6" merupakan hasil dari perkalian antara bilangan pokok "2" dengan faktor pengali "3".

Lalu, apa jadinya jika antara bilangan pokok sama dengan faktor pengalinya?. Contoh :

2 x 2 = 4

atau dapat ditulis

2² = 4

    Nah, inilah yang dimaksud bilangan eksponen atau berpangkat merupakan suatu konsep atau metode penulisan suatu bilangan yang sama dan di ulang-ulang atau dapat disebut bentuk perkalian berulang [1], [7]. Jadi yang dimaksud konsep atau metode di bilangan eksponen adalah perkalian berulang, yang melibatkan bilangan pokok dan faktor pengali yang sama didalam perkaliannya. 

Secara umum, kita dapat menuliskan bentuk bilangan eksponen atau berpangkat dapat dinyatakan dalam bentuk :

Keterangan :    "a" adalah bilangan basis atau bilangan pokok

                         "b" adalah eksponen atau pangkat

        Untuk pembahasan selanjutnya, mari kita batasi dengan mewakilkan "a" dan "b" sebagai bilangan bulat positif [1]. Adapun cara pembacaannya, a^b dapat kita baca "a pangkat b" (contoh :3² dibaca "3 pangkat 2). Kita sudah dijelaskan sebelumnya bahwa jenis bilangan itu banyak dan akan berdampak pada penulisan bilangan eksponen. Jadi, dari sini apakah dari kalian ada yang bertanya seputar pertanyaan dibawah ini :

Sebenarnya untuk apa sih bilangan eksponen atau berpangkat ini? 

Kenapa penulisannya seperti itu? 

Kira-kira asal-usulnya dari mana, ya...?

Siapa penemunya, ya..?

Tenang semua pertanyaan diatas akan kita bahas satu-persatu. Jadi tetap fokus ya ^^. 

B. Kegunaan Penulisan Bilangan Eksponen

Sebenarnya untuk apa sih bilangan eksponen atau berpangkat ini?.

   Salah- satu alasan penggunaan bilangan berpangkat adalah untuk menyederhanakan bilangan desimal yang angka (relatif) banyak [1]. Coba kalian perhatikan Tabel 1.

Tabel 1. Pembandingan penulisan bilangan Desimal dengan bilangan Eksponen.

       Dari Tabel 1, kalian dapat melihat betapa ringkasnya penulisan bilangan eksponen yang semula dari bilangan desimal bernilai ribuan atau bahkan sampai jutaan. Sebagai contoh, "30.517.578.125" dapat kita tuliskan sebagai 5 pangkat 15 atau 5¹⁵. Kita dapat melihat pula bahwasannya bilangan eksponen atau berpangkat dapat kita tuliskan ke dalam bentuk bilangan desimal dengan cara melakukan perkalian berulang bilangan pokok-nya sebanyak pangkatnya.

Lalu bagaimana menyatakan bilangan Desimal ke dalam bilangan Eksponen atau Berpangkat?.

Faktor Bilangan [1]

     Bilangan bulat a dikatakan faktor dari bilangan bulat b, jika ada bilangan bulat n sedemikian sehingga a x n = b.

Contoh :

2 dikatakan faktor dari 6 karena ada bilangan 3 sedemikian sehingga 2 x 3 = 6

    Setelah memahami tentang faktor, kalian bisa mengubah bilangan-bilangan yang sangat besar menjadi bilangan berpangkat. Untuk menentukan faktor-faktor dari bilangan desimal tersebut, salah-satu caranya adalah dengan membagi bilangan tersebut secara berulang [1].

Contoh :

Cara menjadikan bilangan desimal 648 menjadi bilangan berpangkat.

Jadi, 

648     = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 

           = 2³ x 3⁴

       Pada dasarnya untuk merubah nilai suatu bilangan dari operasi pembagian, setidaknya gunakan bilangan bulat terkecil dari masing-masing jenis. Kita menggunakan bilangan 2 untuk pembagian bilangan genap atau bilangan 3 untuk pembagian bilangan ganjil. Mengapa bukan 1 untuk pembagian bilangan ganjil? Karena apapun bilangannya jika dibagi 1 akan menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan pokoknya (atau tidak merubah nilai suatu bilangan) [1].

C. Membandingkan Bilangan Berpangkat Besar

        Didalam dunia pekerjaan, tentu saja kalian diwajibkan untuk bekerja secara cepat dan benar agar memperoleh hasil yang maksimal. Pekerjaan disini tidak sebatas untuk orang dewasa, kalian sebagai siswa pun memiliki pekerjaan seperti halnya belajar dan mengerjakan PR. Maka, saat mengambil keputusan kalian dituntut dengan cepat dan benar. 

Contoh, saat guru kalian melontarkan pertanyaan seputar membandingkan bilangan berpangkat positif : "2³ apakah nilainya lebih besar dari 3² ?

    Apakah dari kalian bisa menjawabnya? Tentunya hindari sebisa mungkin menggunakan alat bantu agar kalian terbiasa menjawab dengan tepat dan cepat secara mandiri. Jika kita amati, prinsip dasar membandingkan suatu bilangan adalah :

1. Kita harus merubah kedua atau lebih bilangan yang kita bandingkan ke bentuk yang sama, contoh sama-sama bilangan bulat, sama-sama bilangan pecahan dan sebagainya
2. Apabla bilangan terlampau besar nilainya dan alat bantu (kalkulator) tidak dapat dipergunakan. Cobalah untuk membandingkan bilangan kecil dengan pola yang sama dengan bilangan sebelumnya.

❤ Contoh dari poin 1 : 2³ apakah nilainya lebih besar dari 3² ?

 Mungkin sebagian dari kalian menduga bahwa antara bilangan 2³ dengan 3² adalah sama besar, karena angka-angka penyusunnya sama namun berbeda posisi. Tentunya untuk mengecek kebenarannya kalian harus menguraikan kedua bilangan berpangkat tersebut ke dalam bentuk desimal lebih dahulu.

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

3² = 3 x 3 = 9

       Ternyata setelah diubah bentuk ke bilangan desimal 2³ nilainya lebih kecil dari pada 3² . Walaupun terlihat bahwa 2³ mempunyai perkalian berulang yang lebih banyak dibandingkan  3² . Hal ini tidak menjamin bilangan berpangkat memiliki nilai yang terbesar. Begitu pula sebaliknya, untuk bilangan pokok yang besar di bilangan berpangkat, seperti contoh kedua dibawah ini.

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

5² = 5 x 5 = 25

Jadi, 2³ lebih besar nilainya dibandingkan 3² .

❤ Contoh dari poin 2 : 2³⁰⁰ apakah nilainya lebih besar dari 3²⁰⁰ ?

     Kedua bilangan tersebut cukup susah untuk dituliskan ke dalam bilangan desimal karena angkanya yang (relatif) banyak. Dengan menggunakan kalkulator sederhana pun tidak akan bisa menghasilkan bilangan desimalnya karena pada kalkulator tersebut hanya terbatas sampai 9 angka saja. Untuk membandingkan bilangan berpangkat yang cukup besar tersebut. Kalian bisa melakukan semacam percobaan untuk bilangan-bilangan yang lebih kecil, tetapi dengan pola yang sama.

2³ < 3²

3⁴ < 4³

4⁵ < 5⁴

Maka, dapat kita generalisasikan bahwa 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰.

Link video edukasi : Pengenalan Bilangan Berpangkat.

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

D. Sejarah Penggunaan Bilangan Eksponen (Berpangkat)

Seputar pertanyaan Bilangan Eksponen atau Berpangkat sebelumnya :

Kenapa penulisannya seperti itu? 

Kira-kira asal-usulnya dari mana, ya...?

Siapa penemunya, ya..?

Mari kita simak sejarah penggunaan bilangan berpangkat atau eksponen berikut ini ☺.

Gambar 2. Michael Stifel [sumber].

       Eksponen berasal dari dua suku kata dari bahasa lain “Expo” dan “Ponere“. Expo berarti berasal atau dari dan Ponere berarti tempat dia sendiri. Penggunaan kata eksponen dalam matematika modern tercatat pertama kali dalam buku “Arithemetica Integral” yang ditulis oleh seorang ahli matematika asal inggris bernama Michael Stifel [8]. Namun demikian saat itu istilah eksponen hanya digunakan untuk bilangan dasar 2. Jadi istilah eksponen 3 berarti 2³ yang bernilai 8.

      Selain itu, Michael Stifel (seperti pada Gambar 2.) juga orang pertama yang memasukkan aturan berikut dalam menghitung pangkat [8] :

q^m . qⁿ = q^m+n

q^m / qⁿ = q^m-n

Kemunculan awal eksponen memang belum jelas pastinya. Meskipun tidak 100% benar banyak yang menyebutkan sistem pangkat atau eksponen ini sudah ada sejak jaman Babilonia. Pada abad 23 sebelum Masehi Masyarakat Babel di sekitar wilayah Mesopotamia telah mengenal kuadrat dalam sistem penanggalan mereka.

       Konsep eksponen di zaman modern agak berbeda dari konsep Stifel atau dari masyarakat Babel. Eksponen sekarang digunakan untuk menentukan berapa kali bilangan tersebut dikalikan dengan ia sendiri. Dengan adanya eksponen anda tidak perlu lagi menuliskan 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3, anda cukup menulis 3¹⁰.

Arikel Sejarah : Penggunaan Bilangan Eksponen 

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

Artikel Luar : Sejarah Eksponen 1 ; Rene Decrates

E. Aplikasi Bilangan Berpangkat di Dunia Nyata

      Pernah-kah kalian mendengar istilah "Notasi Ilmiah" di buku-buku pelajaran Ilmu Pengetahuan Alam (IPA). Notasi Ilmiah adalah cara penulisan nomor yang mengakodomasi nilai-nilai terlalu besar atau kecil untuk dengan mudah ditulis dalam notasi desimal standar. Notasi ilmiah memiliki sejumlah sifat yang berguna dan umumnya digunakan dalam kalkulator dan oleh para ilmuwan, matematikawan, dokter dan insinyur [9].

Dalam notasi ilmiah, semua nomor ditulis dalam bentuk :

Bentuk diatas dapat dibaca "a dikali 10 pangkat b", dimana :

"a" merupakan koefisien berupa bilangan riil

"b" merupakan pangkat dan berupa bilangan bulat

      Perhatikan contoh penulisan Notasi Ilmiah dari bilangan desimal yang angka (relatif) banyak atau sedikit ini. (Tabel 2.)

Tabel 2. Contoh penulisan notasi ilmiah dari bilangan desimal [1].

Sebenarnya penerapan penulisan notasi ilmiah sudah kalian lakukan di bangku Sekolah Dasar. Ingatkah kalian ketika gurumu melontarkan pertanyaan berikut :

"10 kilometer (km) itu sama dengan berapa meter (m) ?"

Maka, kalian akan menjawab :

10 km  = 10 x 1000 m

            = 10.000 m

       "10 x 1000 m" menyerupai bentuk notasi ilmiah yang kalian dapat tuliskan sebagai "10 x 10³ m". Akan tetapi, kebanyakan orang pada umumnya lebih menyukai bentuk desimal biasa atau "10.000 m". Karena penulisannya yang praktis, tanpa melibatkan tanda operasi lain. Sehingga, kalian tentu sangat jarang menjumpai notasi ilmiah di benda sekitarmu. Jika, tidak berhubungan dengan penelitian atau pelajaran.

     Bagaimana dari pemaparan diatas? apakah kalian sudah mengetahui pentingnya penulisan bilangan berpangkat atau eksponen?. Jika masih bingung, mari kita banyangkan kita menjadi seorang ilmuwan biologi yang sedang meneliti sebuah bagian tubuh bakteri. Tau-kah kalian berapa ukuran rata-rata bakteri? Bakteri berukuran sangat kecil kisaran 0,0000005 m sampai dengan 0,000005 m [11]. Ukurang keseluruhan bakteri saja berkisar sangat kecil dan penulisannya memakai angka yang relatif banyak. Bayangkan jika kalian ingin mengetahui beberapa bagian terkecil lagi dari bakteri. Pasti ukurannya akan jauh lebih kecil lagi. Sehingga, dalam menuliskannya akan memakan banyak ruang dalam penulisannya dibuku-buku ilmiah. Sehingga, kita dapat menggunakan bantuan notasi ilmiah atau simbol satuan mikro "μ" (menjadi 0,5 μm s/d 5 μm). Selain itu kalian akan menemui banyak lagi aplikasi dari penulisan bilangan pangkat pada bab selanjutnya (bab : Bangun Ruang dan bab : Aljabar).

F. Latihan-Latihan Soal BAB IV

Bagian A : Mari Menalar

1. Jika m menyatakan sebarang bilangan bulat dan n menyatakan sebarang bilangan bulat positif. Nyatakan bilangan mⁿ ke dalam bentuk perkalian. Jelaskan.
2. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif dengan a < b < c < d. Tentukan bilangan manakah yang lebih besar diantara bilangan a^b dengan c^d. Jelaskan.
3. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif dengan a < b < c < d. Tentukan bilangan manakah yang lebih besar diantara bilangan a^c dengan b^d. Jelaskan.
4. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif dengan a < b < c < d. Tentukan bilangan manakah yang lebih besar diantara bilangan a^d dengan b^c. Jelaskan.
5. Diketahui a adalah bilangan bulat negatif dan b adalah bilangan bulat positif genap, tentukan apakah hasil dari a^b adalah positif atau negatif.
6. Diketahui a adalah bilangan bulat negatif dan b adalah bilangan bulat positif ganjil, tentukan apakah hasil dari a^b adalah positif atau negatif.
7. Diketahui a adalah bilangan genap dan b adalah bilangan genap, tentukan apakah hasil dari a^b adalah genap atau ganjil.
8. Diketahui a adalah bilangan genap dan b adalah bilangan ganjil, tentukan apakah hasil dari a^b adalah genap atau ganjil.
9. Diketahui a adalah bilangan ganjil dan b adalah bilangan genap, tentukan apakah hasil dari a^b adalah genap atau ganjil.
10. Diketahui a adalah bilangan ganjil dan b adalah bilangan ganjil, tentukan apakah hasil dari a^b adalah genap atau ganjil.

Bagian B : Mari Berlatih Mandiri ! (Pilihan Ganda)

Soal Nomor 1

Bilangan 9⁸ senilai dengan ...

a. 8⁹

b. 3¹⁰

c. 18⁴

d. 3¹⁶

Soal Nomor 2

Urutkan bilangan 3⁴, 4³, 2⁵, 5² dari yang terkecil ke yang terbesar.

a. 3⁴, 4³, 2⁵, 5²

b. 5², 2⁵, 4³, 3⁴

c. 5², 2⁵, 3⁴, 4³

d. 5², 4³, 2⁵, 3⁴

Soal Nomor 3

Di antara bilangan berikut, tentukan bilangan ganjil positif.

a. −111⁸⁸

b. −112¹⁰¹

c. −113⁹¹

d. −114²¹²

Soal Nomor 4

Dari notasi ilmiah berikut : 1,3 x 10² dan 5 x 10⁵ . Tentukan penulisan bilangan desimal yang benar. 

a. 1,300 dan 500.000

b. 13,00 dan 50.000

c. 130,0 dan 500.000

d. 1.300 dan 50.000

Bagian C : Mari Berlatih Mandiri ! (Uraian)

Soal Nomor 1

Nyatakan bilangan berpangkat tersebut menjadi bilangan desimal

a. 10⁸

b. 5⁸

c. −10⁶

d. 2⁴ × 10⁷

e.(-2)⁴ × (-3)⁵

Soal Nomor 2

Nyatakan bilangan desimal berikut menjadi bilangan berpangkat (atau bilangan perkalian yang memuat pangkat)

a. 9.000.000

b. 46656

c. −1.500.000

d. 30.375

e. −2.109.375

Soal Nomor 3

Dengan menggunakan tanda “<”, “>”, atau “=” nyatakan perbandingan masing-masing bilangan berikut.

a. 5³ ... 12²

b. 10⁸ ... 8¹⁰

c. 1.000¹⁰⁰ ... 1.000⁹⁹

d. 99¹⁰⁰ ... 100¹⁰⁰

e. 300³⁰¹ ... 301³⁰⁰

Soal Nomor 4

Ubahlah bilangan desimal dibawah ini ke notasi ilmiah.

a. 36.000 dan 4.800

b. 0,00024 dan 0,0072

c. 150.000, 3.000.000, dan 0,00012

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian A (Mari Menalar)

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian B (Pilihan Ganda)

Link Pembahasan Latihan Soal : Bagian C (Uraian)

Link Latihan Soal Tambahan : Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat

(Masih tahap pembuatan sabar yak.... ^^)

       Oh iya... bagi kalian yang tidak suka banyak membaca dan ingin mengetahui dan belajar lebih asik lagi. Kalian bisa kunjungi Channel Youtube yang saya buat khusus untuk video edukasi. 

Masih tahap pembuatan sabar yak ... ^^

G. Daftar Pustaka

1. Buku paket K13- Matematika
2. http://linkmath.blogspot.com/2016/06/sejarah-bilangan-eksponen.html#:~:text=Adapun%20orang%20yang%20pertama%20kali,seorang%20bangsawan%20dari%20Merchiston%2C%20Skotlandia.&text=John%20Napier%20juga%20adalah%20seorang,%2C%20ahli%20astronomi%2C%20dan%20astrologi.
3. https://rumushitung.com/2014/08/13/sejarah-penemuan-eksponen/
4. https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-michael-stifels-arithmetica-integra
5. https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n125/mode/1up
6. https://plato.stanford.edu/entries/descartes-mathematics/
7. https://id.wikipedia.org/wiki/Eksponensiasi
8. https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel
9. https://id.wikipedia.org/wiki/Notasi_ilmiah
10. https://id.wikipedia.org/wiki/Variabel_(matematika)#:~:text=Di%20dalam%20matematika%2C%20variabel%20adalah,tidak%20diketahui%20atau%20tidak%20ditentukan.
11. https://id.wikipedia.org/wiki/Struktur_sel_bakteri#:~:text=hidup%20yang%20kompleks.-,Ukuran%20sel,bisa%20terlihat%20dengan%20mata%20telanjang.